وصف الكتاب: مرحبًا بك في عالم المعادلات التفاضلية الجزئية، حيث ينبض الرياضيات بالحياة وتتحوّل الأفكار النظرية إلى أدوات قوية لفهم العالم من حولنا. دعنا نتجول معًا في صفحات كتاب "مقدمة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية"، حيث سنستكشف مجموعة من الفصول المثيرة والمفيدة للاهتمام.
في الفصل الأول، سننغمس في أساسيات حلول المعادلات التفاضلية، سنتعلم كيفية التعامل مع هذه المعادلات المعقدة وتحليلها. سنكتشف طرقًا مختلفة للتعامل مع المعادلات التفاضلية، بدءًا من الطرق التحليلية التقليدية إلى الأساليب العددية الحديثة وإيجاد حلول لمعادلات خطية من المرتبة الأولى مع وجود تمارين داعمة.
وفي الفصل الثاني، سنتوغل في عالم المعادلات التفاضلية الغير متجانسة، حيث سنكتشف كيفية التعامل مع المعادلات التي تتضمن مصطلحات غير متجانسة وتعيد تشكيل النظام. سنتعلم طرقًا متقدمة لحل هذه المعادلات واستخدامها في حل الألغاز العلمية والتطبيقات الهندسية.
عندما ننتقل إلى الفصل الثالث، سنكتشف سلاسل فوريه، هذه الأداة القوية التي تسمح لنا بتحليل الدالات المركبة وتمثيلها باستخدام سلاسل ذوات الحدين المعروفة باسم سلاسل فوريه. سنتعلم كيفية تحليل الدوال المعقدة إلى مجموعات من الدوال الأبسط وكيفية تطبيق هذه التقنية في حل المعادلات التفاضلية الجزئية وسلسلة فوريه للدوال الفردية والزوجية.
ومع دخولنا إلى الفصل الرابع، سنستكشف عالم معادلة التوصيل الحراري، حيث سنتعلم كيفية وصف توزيع الحرارة في الأجسام ونقل الحرارة عبرها. سندرس مفاهيم مثل التوصيل الحراري الأحادي البعد وكيفية حساب درجات الحرارة المتغيرة في الزمان والمكان مع حل مسألة التوصيل الحراري بشروط حدودية متجانسة.
ولكن لا تتوقف المغامرة هنا، ففي الفصل الخامس سنتعمق في معادلة الموجة في البعد الواحد. سنتعلم كيفية تحليل تفاعل الأمواج وانتشارها في وسط معين، ونكتشف كيف يمكننا استخدام هذه المعادلة القوية في حل مشكلات الاهتزازات والإزاحة المستعرضة للوتر المتذبذب والتطبيقات الصوت والضوء والموجات الكهرومغناطيسية.
وبعد أن نجوب البعد الواحد، سنتحرك إلى الفصل السادس الذي سيأخذنا في رحلة إلى عالم معادلة الموجة في البعدين أو ثلاث أبعاد، سنكتشف كيف يمكننا التعامل مع الإزاحة المستعرضة للغشاء المتذبذب وتحليلها وفهم تفاعلها مع البيئة المحيطة. سنستكشف أهمية هذه المعادلة في مجالات مثل الديناميك السوائل والموجات الزلزالية والتصوير بالأشعة السينية والكثير من التطبيقات الأخرى الشيقة،
مع حل مسألة الموجة في الأبعاد الثلاثة ومسألة الغشاء المتذبذب معلوم الازاحة والسرعة الابتدائيتين.
وعندما نصل إلى الفصل السابع، سنتعمق في فهم المتعددات الحدود ودوال لاجندر، سنكتشف كيف يمكننا استخدام المتعددات الحدود لتحليل الأنماط والظواهر التي تحدث على الحدود وكيف يمكننا تطبيق هذه النظريات وبعض خواص متعددات حدود لاجندر وتعامدها وعن الدوال المولدة لهذه المتعددات
مع وجود تمارين لها.
وبعد ذلك، سنتوجه إلى الفصل الثامن حيث سنستكشف دوال بيسيل، هذه الدوال الرياضية المثيرة التي تظهر في حل المعادلات التفاضلية الجزئية. سنتعلم خصائص هذه الدوال وتطبيقاتها في مجالات مثل الحقل الكهرومغناطيسي ونظرية الاهتزازات والمزيد.
وفي الفصل التاسع، سنتحرك إلى عالم معادلة لابلاس في البعدين، حيث سنكتشف كيفية حل معادلة لابلاس وتطبيقها في حل مشكلات الحقل الكهروستاتيكي وتوزيع الجهد والشحنات مع وجود مسائل عن الجهد الكهربائي المستقل والحرارة المستقلة في صفيحة متجانسة رقيقة ومسائل عن تطبيقات معادلة لابلاس بالإحداثيات القطبية.
وأخيرًا، في الفصل العاشر، سنخوض رحلة إلى عالم معادلة لابلاس في الأبعاد الثلاثة. سنتعلم كيفية التعامل مع النظام الثلاثي الأبعاد وتحليله وفهمه، وكيف يمكننا استخدام هذه المعادلة في حل مشكلات الإلكترومغناطيسية والاستقرار الهيدروديناميكي وغيرها من التطبيقات ثلاثية الأبعاد.
في كل فصل، تعرفنا على تطبيقات المعادلات التفاضلية الجزئية في مجالات مثل الحرارة والأمواج والكهرومغناطيسية والديناميك السوائل والمزيد. تعلمنا كيفية استخدام المعادلات التفاضلية لفهم الظواهر الطبيعية والهندسية وحل المشكلات العملية.
بناءً على ما تعلمناه في هذا الكتاب، يمكننا الآن الاستمرار في استكشاف عالم المعادلات التفاضلية الجزئية وتوسيع معرفتنا في مجالات أخرى مثل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية والمعادلات التفاضلية الجزئية المقطعية والمزيد.
نأمل أن تكون هذه الرحلة قد أضافت إلى معرفتك وإلهامك في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية، وأن تستمر في استكشاف هذا العالم الشيق وتطبيق ما تعلمته في حل المشكلات الواقعية. فالرياضيات هي لغة الكون، والمعادلات التفاضلية الجزئية هي أحد أهم فصول هذه اللغة المذهلة.
عدد صفحات: 389 ..... عنوان الكتاب: مقدمة الى المعادلات التفاضلية الجزئية ...مؤلف الكتاب: الدكتور عطا الله العاني